Basic Statistics - (06) Probability Distribution

1. Random Variable(X)

Variables whose possible values are numerical outcomes of a random phenomenon.

• Discrete
  • countable number of distinct values
• Continuous
  • infinite number of possible values
• probability distribution
  • Discrete
    • probability mass function
  • Continuous
    • probability density function
      • a certain internal under the curve rather than the height of the curve.

2. Cumulative Probability Distribution

• CPD answers two questions

  

• Quantile

  

3. The Mean of a Random Variable

• \[\mu_x\]

• mean of random variable

  

• add or subtract two random variables: X+/- Y

  

  \[\mu_{a+bX}=a + b*X\] \[\mu_{x+y} = \mu_x + \mu_y\]

4. Variance of a Random Variable

• variance 方差

  方差用于衡量随机变量或一组数据的离散程度，方差在在统计描述和概率分布中有不同的定义和计算公式。

  • 概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度；
  • 统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本均值之差的平方值的平均数，代表每个变量与总体均值间的离散程度。

  

• variance equations

  • plus and minus
  \[var(a\pm X) = var(X)\] \[var(bX) = b^2 * var(X) \\ \sigma(bX) = \sqrt{b^2(var(X))}\]

  • Two Variables X and Y

    \[var(X + Y) = var(X) + var(Y) {\color{BurntOrange}+} 2cov(X,Y) \\ var(X-Y) = var(X) + var(Y) {\color{BurntOrange}+} 2cov(X,Y)\]

    

• covariance 协方差 \(cov(X,Y) = E{[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]}\) 公式简单翻译一下是：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值（其实是求“期望”，但就不引申太多新概念了，简单认为就是求均值了）。

  5. Normal Probability Distribution 正态分布

• 表达式

  

• 公式

  

  \[f(x) = {1\over\sqrt{2\pi}\sigma} * e^{-{1\over2}*({x-\mu\over\sigma})^2}\]

  • μ:总体期望均值

  • σ^2:方差

  • x:随机变量

  • Z score

    • \[{x-\mu}\over{\sigma}\]

• μ& σ

  

  

6.Empirical Rule(68-95-99.7 法则)

7. Z-Score

• z-score

  

• standardized data

  

• How to calculate Z-score?

8. Binominal Distribution 二项分布

• binomial distribution=discrete probability distribution

  

• 公式

  

• 属性

  \[\mu = n * p\] \[\sigma = \sqrt{np(1-p)}\]

  n: trials

  p: probability of success